Vamos analisar o comportamentos dos Gráficos das Funções Afim e Quadrática utilizando o Trabalho orientado pelo profº Mateus Oliveira, através do Geogebra:
Gráfico da Função afim
Pensamento Analítico da função f(x) = x + 1
1. Digite no campo de entrada f(x) = x + 1 e clique em Enter;
a) O que observa na janela de visualização? Essa função é crescente ou decrescente?
b) Qual é o valor do coeficiente linear?
2. Por conseguinte, digite no campo de entrada Raiz e selecione a opção Raiz(Polinômio), a seguir, digite f no lugar do termo Polinômio de e clique em Enter;
3. Depois, no campo de entrada digite Interseção e selecione a opção Interseção(Objeto, Objeto), a seguir, digite f no lugar do primeiro termo Objeto e EixoY para o lugar do segundo e clique em Enter;
c) O que observa na janela de visualização? Você consegue visualizar de imediatos dois pontos desse gráfico? Quais são?
d) É possível encontrar quantos pontos nesse gráfico? Por quê?
Respostas:
a) É uma afim crescente, pois as linhas X e Y crescem juntamente no decorrer da linha.
b) 1
c) Dois pontos de intersecção, ambos sobre os eixos A(-1,0) B(0,1)
d) Dois pontos, pois ao colocar os pares ordenados (-1,0) e (0,1) aparecem os pontos A e B no gráfico, que ao ligar uma reta paralela resulta em uma função afim crescente.
Pensamento Analítico da Intersecção de duas Funções Afim
1. Digite no campo de entrada f(x) = ax + b_1 e clique em Enter;
2. Ainda no campo de entrada digite g(x) =-ax + b_2 e clique em Enter;
a) Descreva o que observa?
b) Observe se no intervalo de [-5, 5] - {0} as funções f e g serão sempre, respectivamente, crescente e decrescente? Justifique sua resposta.
3. A seguir, no campo de entrada digite Intersecção e selecione a opção Intersecção(Objeto, Objeto), em seguida, digite f no lugar do primeiro termo Objeto e g para o segundo e clique em Enter;
4. Agora, com o percursor do mause clique sobre o ponto A na janela de visualização e selecione a opção Renomear e modifique para P.
c) Sendo o coeficiente angular diferente de zero, existe a possibilidade desse ponto P deixar de existir? Justifique sua resposta.
5. Nos controles deslizantes faça com que o seletor alcance a=1, b_1=0 e b_2=4, com essas informações faça:
d) Descrição da lei de formação de f e g;
e) Descrição das coordenadas do ponto O quando f corta o eixo da ordenada e do Ponto B quando g também quando corta esse eixo da abscissa:
f) Descrição algébrica para encontrar o zero de cada função;
g) Agora, encontre o ponto interseção entre f e g, descrevendo algebricamente como encontrar esse ponto.
h) Localize e descreva aqui, na função g um ponto C no segundo quadrante e um ponto D no quarto quadrante e na função f um ponto E no terceiro quadrante, represente esses no pensamento geométrico.
Resposta:
2. a) G(x) quando o controle deslizante está parado é decrescente, já quando os controles estão em movimento ao dar o giro ele pode mudar.
b) Sim, porque elas tendem a ter o mesmo valor, porém sendo em sentidos diferentes.
c) Sim, porque P equivale o intervalo é pode ser tirado fazendo o esboço do gráfico da função.
d) f(x) = a1x + b + c e g(x) =-(a1x) + b2.
e)O ponto O tem as coordenadas (3,3). Ponto B (-2,0)
f) f (X)=0 ou Y=0
g) f(x)=ax+x=g(x)=ax+2x=4
h) Para que a reta encontre os pontos, é necessário que os valores A e B sejam alterados por meio do controle deslizante.
A Função Quadrática da forma f(x)=ax²+bx
1. No campo de entrada, digite f(x) = x^2 +bx e pressione Enter;
Será exibida uma tela perguntando se você deseja criar um controle deslizante para o coeficiente b. Clique em Criar controles deslizantes.
2. Agora, digite no campo de entrada Extremo e selecione a opção Extremo(Polinômio), a seguir, digite f no lugar do termo Polinômio e clique em Enter;
3. Clique sobre o Ponto A e selecione a opção Renomear e digite V no lugar de A.
4. Depois, digite no campo de entrada Raiz e selecione a opção Raiz(Polinômio), a seguir, digite f no lugar do termo Polinômio de e clique em Enter;
5. Clique sobre o Ponto A e selecione a opção Renomear e digite x' no lugar de A.
6. Clique sobre o Ponto B e selecione a opção Renomear e digite x'' no lugar de B.
a) Movimente o seletor do controle deslizante b e descreva o que observa quando o coeficiente b for positivo e quando ele for negativo.
b) Quantos pontos você consegue identificar nesse gráfico quando o coeficiente b é diferente de zero?
7. Agora, no campo de entrada, digite a letra a e pressione Enter;
Será exibida uma tela perguntando se você deseja criar um controle deslizante para o coeficiente a. Clique em Criar controles deslizantes.
8. Por conseguinte, digite no campo de entrada g(x)=ax^2+bx e pressione Enter;
c) Movimente o seletor do controle deslizante a e b, por conseguinte, descreva o que acontece com o gráfico de g, comparando-o com o gráfico de f.
9. Na Janela de Álgebra, clique na bolinha azul da lei da função f para ocultar o gráfico.
d) Descreva o que acontece com gráfico g quando:
i. a>0 e b>0
ii a>0 e b =0
iii. a>0 e b<0
iv. a<0 e b>0
v. a<0 e b=0
vi. a<0 e b<0
e) Existe a possibilidade de g não tocar ou cortar o eixo x? Justifique sua resposta.
Resposta:
a) Quando b é positivo, o gráfico fica voltado para a esquerda quando b é negativo , o gráfico fica voltado para a direita.
b) 3 pontos.
c) Quando a se aproxima de 0, o gráfico aumenta quando a se afasta de 0, o gráfico encolhe.
d) i. a>0 e b>0; grande parte do gráfico fica voltado para a esquerda superior.
ii a>0 e b =0; o gráfico fica voltado para cima e simétrico em relação ao eixo y.
iii. a>0 e b<0; grande parte do gráfico fica voltado para a direita superior.
iv. a<0 e b>0; grande parte do gráfico fica voltado para a direita inferior.
v. a<0 e b=0; o gráfico fica voltado para baixo e simétrico em relação ao eixo y.
vi. a<0 e b<0; grande parte do gráfico fica voltado para esquerda inferior.
e) Não, porque sempre vai cortar o ponto 0.
A Função Quadrática da forma f(x)=ax²+bx+c
1. No campo de entrada, digite f(x) = ax^2 +bx+c e pressione Enter;
Será exibida uma tela perguntando se você deseja criar os controles deslizantes para os coeficiente a, b e c. Clique em Criar controles deslizantes.
2. Depois, digite no campo de entrada Raiz e selecione a opção Raiz(Polinômio), a seguir, digite f no lugar do termo Polinômio de e clique em Enter;
3. Clique sobre o Ponto A e selecione a opção Renomear e digite x' no lugar de A.
4. Clique sobre o Ponto B e selecione a opção Renomear e digite x'' no lugar de B.
5. Agora, digite no campo de entrada Extremo e selecione a opção Extremo(Polinômio), a seguir, digite f no lugar do termo Polinômio e clique em Enter;
6. Clique sobre o Ponto C e selecione a opção Renomear e digite V no lugar de C.
a) Movimente o seletores do controles deslizantes a, b e c, por conseguinte, descreva o que observa quando o coeficiente b for positivo e quando ele for negativo.
i. a>0, b>0 e c>0
ii. a>0, b<0 e c>0
iii. a>0, b>0 e c<0
iv. a>0, b>0 e c<0
v. a<0, b>0 e c>0
vi. a<0, b<0 e c>0
vii. a<0, b>0 e c<0
viii. a<0, b>0 e c<0
b) Manipulando os controles deslizantes, determine os coeficientes para os quais o vértice da parábola esteja localizado:
i. no segundo quadrante, com a concavidade voltada para cima;
i. no terceiro quadrante, com a concavidade voltada para baixo;
ii. sobre o eixo y, com a concavidade voltada para cima;
c) sobre o eixo x, , com a concavidade voltada para baixo;
7. Agora, digite no campo de entrada Reta e selecione a opção Reta(Ponto, Reta Paralela), a seguir, digite V no lugar do termo Ponto e EixoY no lugar do termo Reta Paralela e clique em Enter;
c) Descreva o que observa. Qual é o nome desse novo objeto matemático? Qual a importância dele para a construção gráfica?
8. Na Janela de Álgebra, clique na bolinha azul da reta para ocultar tal objeto;
9. Na Janela de Visualização, clique sobre o ponto V e acione a opção Rasto;
10. Mantenha fixados os valores dos coeficientes a e b e aperte o play na Janela de Álgebra do controle deslizante c.
d) Os vértices descrevem uma reta? Por quê?
11. Mantenha fixados os valores dos coeficientes a e c e aperte o play na Janela de Álgebra do controle deslizante b.
e) Os vértices descrevem uma curva, qual você acha que é? Por quê?
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a) i. a>0, b>0 e c>0; o gráfico fica em cima do eixo x e voltado para a esquerda.
ii. a>0, b<0 e c>0; o gráfico fica em cima do eixo x e voltado para direita.
iii. a>0, b>0 e c<0; grande parte do gráfico fica em cima do eixo x e voltado para a esquerda.
iv. a>0, b>0 e c<0; grande parte do gráfico fica em cima do eixo x e voltado para a esquerda.
v. a<0, b>0 e c>0; grande parte do gráfico fica abaixo do eixo x e voltado para a direita.
vi. a<0, b<0 e c>0; grande parte do gráfico fica abaixo do eixo x e voltado para esquerda.
vii. a<0, b>0 e c<0; o gráfico fica abaixo do eixo x e voltado para a direita.
viii. a<0, b>0 e c<0; o gráfico fica em cima do eixo x e voltado para a direita.
b)
i. a >0, b >0 e c>0
i.a <0, b<0 e c<0
ii.a>0, b = 0, ∀c ∈ ℝ
c) >0, = 0, ∀c ∈ ℝ
c) Reta, auxilia ao descobrir o valor do Y do vértice.
d) Não, porque há começo e final.
e) Uma parábola, porque altera o valor de b
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