Função Quadrática

 

Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma.

Um polinômio quadrático com duas raízes reais (cruzamentos do eixo x ) e, portanto, sem raízes complexas . Alguns outros polinômios quadráticos têm seu mínimo acima do eixo x, caso em que não há raízes reais e duas raízes complexas.
Como resolver uma função quadrática?
Exemplo

Observe a seguir a lei de formação de uma função quadrática:

 a) f(x)= x ^ 2 - 3x +( , em que os coeficientes são, a = 1, b = - 3 : c=2

Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:

Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:

f (-1) = 8
a (-1)2 + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)

f (0) = 4
a . 02 + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)

f (2) = 2
a . 22 + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)

Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.

Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e b):

(Equação I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:

(Equação III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:

(Equação I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:

a = 1
b = - 3
c = 4

Raízes da Função

As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:

f(x) = ax2 +bx + c = 0

Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:

Para fixar o conteúdos temos alguns mapas mentais abaixo:

Que tal um vídeo sobre algumas curiosidades;

Vamos de exercícios 

1.Um objeto é lançado para cima, a partir do solo, e a altura h, em metro, varia em função do tempo t, em segundo, decorrido após o lançamento. Supondo que a lei dessa função seja h(t) = 30t - 5t², responda:

a) Qual é a altura do objeto 3 segundos após o lançamento?

b) Quanto tempo após o lançamento o objeto encontra-se a 40 metros de altura?

c) Como podemos interpretar o resultado obtido no item b?

2.(UFMG) Um certo reservatório, contendo 72 m³ de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu do reservatório, em m³, é dado por V(t) =24t-2t2. Sabendo- -se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às: a) 14 horas.

b) 16 horas.

c) 19 horas.

d) 22 horas.

3.Determine m para que a função dada por f(x) = (m + 1)x² - 2mx+m+ 5 possua dois zeros distintos.

4.Considere todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determine aquele que tem área máxima. Qual é essa área?

Respostas:

Referências:

pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica

https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/funcao-quadratica

Livro didático Conjuntos e funções; Bonjorno, Giovanni Jr., Paulo Câmara