Funções Exponenciais

 

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

A função exponencial dada por f(x)=ax é injetora, pois quaisquer dois elementos distintos do seu domínio têm imagens distintas. Além disso, como todo elemento do contradomínio é imagem pela função de um elemento do domínio, essa função também é sobrejetora. Desse modo, podemos dizer que a função exponencial é bijetora.

Exemplos de Funções Exponenciais

f(x) = (2) ^ x

f(x) = (0, 4) ^ x

Gráfico

O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva.

Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que ax seja igual a 0, lembrando que, por definição, a base é sempre maior do que 0.

Propriedades

1ª propriedade

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

f(0) = a 0=1

2ª propriedade

A função exponencial é injetiva. Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente, ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

3ª propriedade

Como vimos em um tópico anterior, o gráfico da função exponencial pode ser crescente, se a base for maior que 1 (a >1), e decrescente, caso a base seja um número menor que 1 e maior que 0 (0<a<1).

4ª propriedade

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser 0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0.

1.Dada uma função de R → R com a lei de formação f(x) = ax, em que a é um número positivo diferente de 1, julgue as afirmativas a seguir:

I → Essa função será crescente se a for positivo.

II → Se x = 0, então, f(x) = 1.

III → Essa é uma função exponencial.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são falsas.

2.Analise a equação a seguir:

\(2^{x^2-4}=128\) 

Sobre essa equação, podemos afirmar que:

A) É uma equação polinomial do 1º grau.

B) É uma equação polinomial do 2º grau.

D) É uma equação exponencial.

E) É uma equação logarítmica.

Respostas:

1. Letra A

I → Falsa, para que a função seja crescente, não basta que a seja positivo, pois ele tem que ser maior que 1. Se a for um número entre 0 e 1, mesmo sendo positivo, a função será decrescente.

II→ Verdadeiro, f(0) = a 0 → todo número elevado a 0 é igual a 1.

III → Verdadeiro, na lei de formação da função, é possível ver que ela possui variável no expoente, característica essa da função exponencial.

2.Letra D

A equação é exponencial, pois há incógnita no expoente.

    Para fixar o conteúdo!

Referências:

Livro funções e progressões; Bonjoro, Giovanni Jr, Paulo Câmara 

https://www.google.com/amp/s/m.exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/amp/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-exponencial.htm

https://matematicabasica.net/funcao-exponencial