Introdução a Teoria dos Conjuntos
A teoria dos conjuntos é a área da Matemática que estuda as características e propriedades dos conjuntos. Um conjunto é formado por elementos que possuem uma mesma característica. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, cada um deles chamado de elemento.
Podemos representar um mesmo conjunto de diferentes modos. Veja:
Os elementos do conjunto A são os números pares menores que 10. Na representação gráfica, os elementos devem ficar no interior do círculo, essa representação é conhecida por diagrama de Venn-Euler. Podemos representar também o conjunto fazendo uma lista de seus elementos:
A = {0, 2, 4, 6, 8}
Ao representarmos um conjunto na forma de lista, devemos separar os elementos por vírgula ou ponto e vírgula. Podemos representar o conjunto dos pares menores que 10 também assim:
A = { p | p é par menor que 10}
O qual lemos da seguinte forma: “p tal que p é par menor que 10”.
Relação de pertinência
A relação de pertinência mostra se um elemento está dentro ou não de um conjunto, ou seja, se ele pertence ou não pertence a um conjunto. Vamos utilizar os seguintes símbolos para a relação de pertinência.
Assim, para afirmar se um elemento está ou não no conjunto, devemos utilizar a notação anterior. Veja:
- Exemplo
Considere o conjunto B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15}.
Observe que o elemento 5 está dentro do conjunto B e que o elemento 0, por exemplo, não está, assim:
Relação de inclusão
A relação de inclusão mostra-nos se um conjunto está contido ou não dentro de outro. Na relação de inclusão, utilizamos os seguintes símbolos:
- Exemplo
Considere os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3}
C = {5, 6, 7}
Observe que o conjunto B está por completo dentro do conjunto A, portanto, o conjunto B está contido no conjunto A.
A ⸦ B
Por outro lado, o conjunto C não está por completo no conjunto A, logo, o conjunto C não está contido no conjunto A.
Subconjuntos
A ideia de subconjunto está ligada à relação de inclusão, dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A forem elementos de B, ou seja, se A⸦ B, então A é subconjunto de B.
- Exemplo
Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={a, b, c, d, e, f, g, h}.
Observe que todos os elementos de A são elementos de B, portanto, A é subconjunto de B, isto é: A ⸦ B.
O contrário já não é verdade, pois nem todo elemento de B é elemento de A, portanto, B não é subconjunto de A.
Conjunto unitário
Um conjunto é dito unitário se ele possuir um único elemento. Veja o exemplo:
- Exemplo
O conjunto A é unitário.
A = {1}
Conjunto universo
O conjunto universo é o que contém todos os outros conjuntos. Por exemplo, considere os conjuntos A = {– 1, – 2, 1, 2}, B ={0, 1, 2, 3} e C = {1, –1, 2, –2}, veja que todos eles são compostos por números inteiros, ou seja:
Portanto, o conjunto dos números inteiros é o conjunto universo.
Conjunto complementar
Considere dois conjuntos A e B de forma que A ⸦ B.
O conjunto complementar é formado pela diferença B – A, ou seja, tomamos os elementos de B e retiramos os elementos de A contidos em B. Esse conjunto é chamado complementar de B em relação a A.
Conjuntos das partes
O conjunto das partes de A é formado por todos os possíveis subconjuntos dos elementos do conjunto A. Veja o exemplo:
- Exemplo
Determine o conjunto das partes do conjunto A = {1, 2, 3}
O conjunto das partes é denotado por P (A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {}}.
Para determinar o número de elementos do conjunto das partes de A, basta resolver a potência 2n, em que n é o número de elementos do conjunto A. Do exemplo 6, temos que o número de elementos de A é 3, logo, o número de elementos do conjunto das partes de A será:
23
2 · 2 · 2
8
ois conjuntos serão iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos elementos em qualquer que seja a ordem. Desse modo, os conjuntos a seguir são iguais:
A = {0, 1, 3, 4, 5, 6}
B = {6, 5, 4, 3, 2, 1}
C = {6, 6, 5, 4, 5, 4, 3, 6, 2, 1}
Operações com conjuntos
União de conjuntos
Considere dois conjuntos A e B, a união entre eles será um novo conjunto formado por elementos de A ou elementos de B.
Representamos a união com o símbolo U, então A U B é a união entre os conjuntos A e B.
- Exemplo
Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}.
Para determinar o conjunto união, basta escrever o conjunto formado por elementos que estão em ambos conjuntos, assim:
A U B = {a, b, c, d, e, f, g}
Intersecção de conjuntos
A interseção de conjuntos é formada por elementos que estão simultaneamente nos conjuntos envolvidos. Assim, considerando dois conjuntos A e B, a interseção é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Denotamos a interseção por ∩.
- Exemplo
Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}.
Para determinar a intersecção entre os dois conjuntos, devemos encontrar os elementos que pertencem a eles.
A ∩ B = {c, d, e}
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